Dalekie obserwacje a krzywizna Ziemi

Zdjęcia na duże odległości, zwłaszcza Tatry widziane z daleka, wywołują liczne komentarze na temat kształtu naszej planety, a także dyskusje czy taki widok jest możliwy.

Takie obserwacje są jednoznacznym dowodem na obecność krzywizny Ziemi.

Przeanalizujmy to na przykładzie widoku na Bieszczady z Radziejowej w Beskidzie Sądeckim.

Przed Bieszczadami widać górę z charakterystycznym masztem – to Stebnicka Magura na Słowacji (900 m n.p.m.), oddalona o 47,4 km. Tuż poniżej jej szczytu (896 m n.p.m.) stoi maszt o wysokości 81 m. Za nią, po prawej stronie widnieje Roh (1255 m n.p.m.) – najwyższy wierzchołek Połoniny Wetlińskiej, do którego odległość wynosi 142,9 km. Jego szczyt jest widoczny minimalnie poniżej poziomu masztu. No właśnie – poniżej, a Roh jest prawie 300 metrów wyżej niż szczyt masztu.

 

Analiza dla płaskiej Ziemi

Na płaskiej planecie kąt względem płaszczyzny poziomej, pod którym patrzymy na obiekt, zależałby od stosunku różnicy wysokości pomiędzy widzianym obiektem a punktem, z którego prowadzimy obserwację do odległości. Dokładnie rzecz biorąc ten stosunek jest sinusem kąta, ale dla małych kątów sinus jest w przybliżeniu równy wielkości kąta wyrażonej w radianach – kąt jest zatem proporcjonalny do tego ilorazu.

Na płaskiej planecie kąt względem płaszczyzny poziomej a widzianym obiektem zależy od stosunku wysokości względem punktu obserwacyjnego do odległości. h1 / |OA| = h2 / |OB|

Dane potrzebne do obliczeń:

  • wysokość punktu obserwacji na wieży widokowej na Radziejowej: 1284 m n.p.m.
  • wysokość masztu na Stebnickiej Magurze: 977 m n.p.m.
  • wysokość Roha: 1255 m n.p.m.
  • odległość Radziejowa – maszt: 47,4 km
  • odległość Radziejowa – Roh: 142,9 km

Liczymy więc kąt dla masztu: (977 – 1284) / 47400 ≈ -0,00648 oraz dla Roha: (1255 – 1284) / 142900 ≈ -0,00020.

Przeliczając radiany na stopnie, minuty i sekundy kątowe, uzyskujemy wartości -22’16,6″ dla masztu oraz -0’41,9″ dla Roha. Minus oznacza widoczność poniżej płaszczyzny poziomej. Maszt powinien być więc widoczny ponad 21 minut kątowych poniżej Roha. Wykorzystując powyższe obliczenia, możemy porównać to z wysokością masztu. Z definicji funkcji trygonometrycznych wynika, że sinus kąta pomnożony przez długość przeciwprostokątnej jest równy długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta – w tym przypadku sinus pomnożony przez odległość do masztu da nam długość pionowego odcinka pomiędzy szczytem masztu a punktem powyżej niego, widocznym na poziomie Roha. Mnożymy więc różnicę kątów przez odległość: (-0,0002 – (-0,00648)) * 47400 m ≈ 298 m – oznacza to, że na płaskiej Ziemi Roh byłby widoczny na poziomie punktu położonego 298 metrów powyżej szczytu masztu.

 

Analiza dla kulistej Ziemi

A teraz przyjmijmy kulisty kształt Ziemi o promieniu 6371 km.

Na kąt, pod jakim widać obiekt, wpływa zakrzywienie planety. Im większa odległość, tym większe zakrzywienie – odległy teren coraz bardziej “ucieka” w dół. Jest więc możliwe, że wyższy obiekt, ale położony dalej, będzie widoczny poniżej niższego, położonego bliżej.

Niższy obiekt położony bliżej jest widoczny wyżej nad horyzontem niż obiekt wyższy, ale dalszy.

Wielkość pozornego zmniejszenia wysokości, czyli dokładniej odległość pomiędzy płaszczyzną prostopadłą do pionu w danym punkcie a punktem znajdującym się na tej samej wysokości n.p.m. (nazywaną płaszczyzną horyzontu astronomicznego), położonym w odległości d mierzonej wzdłuż obwodu planety (jako długość łuku), można obliczyć następującym wzorem: a = R * (1 – cos (d / R)), gdzie R – promień Ziemi.

Wyprowadzenie wzoru na podstawie poniższego rysunku.
α = d / R
z definicji funkcji cosinus: cos (d / R) = (R – a) / R
R * cos (d / R) = R – a
a = R – R * cos (d / R)
a = R (1 – cos (d / R))

Analogicznie do obliczeń dla płaskiej planety, możemy teraz obliczyć sinusy kątów dla masztu i Roha z uwzględnieniem krzywizny Ziemi – od wysokości n.p.m. należy odjąć obliczoną według powyższego wzoru wartość a.
Dla masztu na Stebnickiej Magurze:

a = 6371 km * (1 – cos (47,4 km / 6371 km)) ≈ 0,176 km

Dla Roha:

a = 6371 km * (1 – cos (142,9 km / 6371 km)) ≈ 1,603 km

Sinusy kątów względem płaszczyzny prostopadłej do pionu dla Radziejowej, równe w przybliżeniu wielkości tych kątów, wynoszą zatem:

dla masztu (977 – 176 – 1284) / 47400 ≈ -0,01019,

dla Roha (1255 – 1603 – 1284) / 142900 ≈ -0,01142,

a kąty wyrażone w minutach i sekundach odpowiednio -35’1,8″ i -39’15,7″.
Roh powinien być widoczny 4’13,9″ poniżej wierzchołka masztu, czyli mniej więcej na poziomie 1/4 wysokości masztu. Na zdjęciu Roh jest jednak wyżej, prawie na poziomie szczytu masztu. Z czego może to wynikać?

 

Wpływ refrakcji atmosferycznej

Obserwacja nie odbywa się w próżni, lecz w ziemskiej atmosferze, która składa się z powietrza o zmiennej gęstości, a co za tym idzie, zmienny jest współczynnik załamania światła. W efekcie światło przebiegające przez atmosferę nie biegnie w linii prostej, lecz ulega załamaniu w taki sposób, że przebiega po łuku. Jest to dokładnie to samo zjawisko, które obserwujemy na granicy powietrza i wody albo na granicy powietrza i szkła np. w soczewkach. Tutaj nie mamy jednak ostrej granicy między ośrodkami – zmiany gęstości powietrza są płynne, dlatego zamiast gwałtownej zmiany kierunku promienia światła mamy stopniową, łagodną zmianę kierunku na dużym dystansie.
Zjawisko to nosi nazwę refrakcji atmosferycznej. Zależy ona od ciśnienia atmosferycznego, temperatury i wielkości pionowego gradientu termicznego, czyli zmiany temperatury powietrza z wysokością. Jej miarą jest współczynnik refrakcji, definiowany jako stosunek promienia krzywizny Ziemi do promienia krzywizny toru światła. Można go obliczyć ze wzoru k = 503 * p / T² * (0,00343 + dT / dh), p – ciśnienie w hPa, T – temperatura w kelwinach, dT / dh – pionowy gradient temperatury na 1 m wysokości.
Geometrycznie efekt refrakcji atmosferycznej jest taki, jakby światło przebiegało po liniach prostych, a Ziemia miała promień krzywizny równy r = R / (1 – k), gdzie R – promień Ziemi, k – współczynnik refrakcji. Przyjmuje się, że w standardowych warunkach k = 0,13, jednak przy niestandardowym rozkładzie temperatury, np. przy inwersji temperatury, wartość k może lokalnie zbliżać się nawet do 1.

Sprawdźmy wpływ refrakcji na nasz przykład. Zgodnie ze wzorem efektywny promień Ziemi odpowiadający k = 0,13 wynosi 6371 km / (1 – 0,13) ≈ 7323 km. Tę wartość podstawiamy jako R we wzorze a = R * (1 – cos (d / R)), a następnie tak obliczone a wykorzystujemy do obliczenia kątów względem płaszczyzny horyzontu astronomicznego.

Dla masztu na Stebnickiej Magurze a = 7323 km * (1 – cos (47,4 / 7323)) ≈ 0,153 km, sinus kąta wynosi (977 – 153 – 1284) / 47400 ≈ -0,00970.
Dla szczytu Roha a = 7323 km * (1 – cos (142,9 / 7323)) ≈ 1,394 km, sinus kąta wynosi (1255 – 1394 – 1284) / 142900 ≈ -0,00996.

Różnica sinusów pomnożona przez odległość do masztu jest równa (0,00996 – 0,0097) * 47400 m = 12,3 m. Dla refrakcji o współczynniku 0,13 Roh powinien być widoczny na poziomie punktu znajdującego się 12 m poniżej szczytu masztu. Wartość ta jest zbliżona do tego, co widzimy na zdjęciu. Dalekie widoki są więc dowodem nie tylko na kulistość Ziemi, ale również na zjawisko refrakcji atmosferycznej.

Tak naprawdę Ziemia nie jest kulą, lecz geoidą – bryłą zbliżoną do elipsoidy obrotowej, spłaszczoną na biegunach ze względu na siłę odśrodkową wynikającą z ruchu obrotowego. Różnica względem kształtu kulistego jest jednak na tyle mała, że nie wpływa w sposób zauważalny na obserwowany widok.

 

Zmienność refrakcji atmosferycznej a zasięg widoczności

Refrakcja atmosferyczna, jak wyżej wspomniano, bywa zmienna. Im jest większa, tym światło ulega silniejszemu ugięciu, dzięki czemu może ominąć przeszkody zasłaniające widok w standardowych warunkach. Dlatego też przy niższej temperaturze i przy mniejszym niż standardowy spadku temperatury z wysokością możemy zobaczyć na horyzoncie to, co zazwyczaj jest niewidoczne. W górach zdarza się to najczęściej przy pogodzie wyżowej, gdy występuje inwersja termiczna spowodowana osiadaniem powietrza ku dołowi – w pewnym zakresie wysokości im wyżej, tym powietrze jest cieplejsze. Poza górami, czyli na nizinach i wyżynach, w tym także na Lubelszczyźnie, występuje inny rodzaj inwersji – inwersja radiacyjna. O zmierzchu w pogodny dzień grunt szybko ochładza się wskutek wypromieniowania ciepła, a razem z nim przygruntowa warstwa powietrza, która osiąga temperaturę niższą niż powietrze znajdujące się wyżej. Obserwacje w takich regionach charakteryzują się przebiegiem światła na długim dystansie na niewielkiej wysokości nad poziomem terenu, a więc w warstwie powietrza objętej inwersją. Mimo że zjawisko dotyczy cienkiej warstwy atmosfery, jego wpływ bywa więc bardzo istotny.

Geometryczny zasięg widoczności na terenie równinnym, bez uwzględnienia refrakcji, można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa i wynosi d = (h (2R + h))^0,5, gdzie h – wysokość obserwatora, R – promień Ziemi. Wpływ refrakcji można uwzględnić, podstawiając efektywny promień Ziemi, obliczony z wyżej wymienionego wzoru r = R / (1 – k).

Porównajmy taki geometryczny zasięg dla następujących warunków:

  • p = 1000 hPa, T = 298 K (25 °C), dT/dh = -0,007 K/m, h = 0,3 km
  • p = 1000 hPa, T = 263 K (-10 °C), dT/dh = 0,01 K/m (inwersja temperatury – wzrost o 1 K na 100 m wysokości), h = 0,3 km

W pierwszym przypadku:

k = 503 * 1000 / 298² * (0,00343 + (-0,007)) ≈ 0,1546
r = 6371 km / (1 – 0,1546) ≈ 7536 km
d = (0,3 km * (2 * 7536 km + 0,3 km))^0,5 ≈ 67,25 km

W drugim przypadku:

k = 503 * 1000 / 263² * (0,00343 + (0,01)) ≈ 0,3222
r = 6371 km / (1 – 0,3222) ≈ 9399 km
d = (0,3 km * (2 * 9399 km + 0,3 km))^0,5 ≈ 75,1 km

Zmiana temperatury z 25 °C na -10 °C oraz wystąpienie inwersji termicznej zwiększyły zasięg widoczności o ok. 12%. Obliczenia dotyczą jednak obserwatora znajdującego się nad terenem równinnym – w rzeczywistości zmiana zasięgu widoczności bywa inna i zależy od ukształtowania terenu, a także od zmienności refrakcji atmosferycznej w przestrzeni na linii obserwacji – przede wszystkim w zależności od wysokości. Wzór na współczynnik refrakcji dotyczy bowiem warunków lokalnych.

W standardowych warunkach refrakcyjnych Tatry z Wyżyny Lubelskiej można zobaczyć tylko z okolic Salomina (Stare Baraki) i Józefowa. Widoczność Tatr z innych okolicznych miejsc wymaga większej refrakcji, która występuje z reguły właśnie wtedy, gdy najczęściej występują odpowiednie warunki do obserwacji – po zachodzie słońca w chłodniejszej połowie roku. Minimalny średni współczynnik refrakcji wymagany dla obecnego rekordu – obserwacji Lodowego Szczytu z Wierzchowisk Drugich (239,7 km) wynosi ok. 0,21.

 

Porównanie widoku rzeczywistego i dla płaskiej Ziemi

Z drogi Salomin-Józefów na południowy zachód od Kraśnika widać kilka wierzchołków Tatr Wysokich przy standardowej refrakcji atmosferycznej. Gdyby Ziemia była płaska, Tatry byłyby widoczne gołym okiem w całej okazałości, od podnóża po szczyty, z Tatrami Zachodnimi włącznie – aż po Siwy Wierch na zachodnim ich krańcu. Byłoby widać m.in. Giewont i szczyty reglowe, takie jak Gęsia Szyja czy Sarnia Skała, a przed Tatrami rozciągałaby się panorama Beskidów. Poniższe ilustracje są symulacjami panoram z punktu przy drodze Salomin-Józefów (50°48’38,6″N 22°04’31,2″E), utworzonymi za pomocą narzędzia online Ulricha Deuschle.

Zbliżenie na widoczne szczyty
Widoczna jest część gór powyżej niebieskiej linii – widać, jak duża część Tatr jest schowana za horyzontem.

Z Lublina nie widać żadnych pasm górskich. Gdyby jednak Ziemia była płaska, z lubelskich bloków rozpościerałaby się panorama Karpat polskich, słowackich, czeskich, ukraińskich i rumuńskich, Gór Świętokrzyskich, a nawet Sudetów i Alp. Niewykluczone, że o wschodzie słońca (a może o zachodzie? – w zależności od lokalizacji końca planety) byłyby widoczne szczyty Himalajów – programy analizujące ukształtowanie terenu mają zbyt mały zasięg, by to sprawdzić.